高考抽象函数题型及解题方法_高考抽象函数

1.关于高一必修一的重点函数题型

2.如何证明一个函数是不是周期函数

3.高中高考数学的那些抽象函数怎么学的？好难喔！请会的进进好吗？

4.怎么学抽象函数

5.抽象函数在高中数学学习中是否占很大比例？

极限顾名思义就是要极端设 高考的抽象函数你只要记得下面几个关系搓搓有余了。

1、若函数f（x） 的定义域为R ，且 f（x+a）=f（x-b)恒成立，则函数 是以T=a+b 为周期的周期函数；

2、若函数 f（x）的定义域为 R ，且 f（x+a）=f（x-b）恒成立，则函数f（x） 的图象关于直线X

=（a+b）/2 对称；

3、若函数f（x） 的定义域为 R ，且 f（x+a）=-f（x-b)恒成立，则函数 f（x）的图象关于点 {(A+B)/2,0}对称；

4、若函数f（x） 的定义域为 R ，且 f（x+a）=-f（x-b) 恒成立，则函数f（x） 是以 2(a+b)为周期的周期函数；

5、若函数 f（x）的定义域为R ，则函数f(a+x) 与f(b-x) 的图象关于直线 对称；等等.....

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关于高一必修一的重点函数题型

抽象函数应该是高中的补充内容

虽然书上没有讲，但高考中却出现了，而且在奥数中是常考内容

抽象函数大体分为：

线性抽象函数

指数抽象函数

对数抽象函数

三角函数抽象函数

冥函数抽象函数

总之，基本初等函数都有抽象函数

如何证明一个函数是不是周期函数

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例：设y=f(x)是定义在区间〔-1，1〕上的函数，且满足条件：

(i)f(-1)＝f(1)＝0；

(ii)对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

(Ⅰ)证明：对任意的x∈〔-1，1〕，都有x-1≤f(x)≤1-x；

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤1。

解题：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈〔-1，1〕时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1〕，u∈〔-1，0)

要想使已知条件起到作用，须在〔-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)＝f(1)＝0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1〕上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

综上可知，对任意的u,v∈〔-1，1〕都有—f(u)-f(v)—≤1.

点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(-1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在(1)的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成—f(x)—＝—f(x)-f(1)—；在(2)的证明中，利用f(-1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改写成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用条件的机会，也创造了解决问题的捷径。

另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值(如令x=1，y＝0等)，这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。

高中高考数学的那些抽象函数怎么学的？好难喔！请会的进进好吗？

证明f（x+T）=f(x)

抽象函数是相对于具体函数而言的,它没有给出具体的函数解析式.所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题.

预备知识: 对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)= f(x)总成立,则f(x)是周期函数.T是f(x)的一个周期.若T是f(x)的一个周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是f(x)的周期

一. 抽象函数周期的求法.

由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决.大致分为以下几个类型:

1.型如f(x+a)=f(x+b)（a≠b）

分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)]

所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.

若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]

所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期.

2.型如f(x)=-f(x+a)（a≠0）

分析: 条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换

得f(x+a)=-f(x+2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a)

所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期.

3.型如f(x)=1/ f(x+a) （a≠0）

分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x 用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a)

所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期.

从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.

二. 抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系.

2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用.

1.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.

条件B: f(x)关于x=a对称

条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.

结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.

证明: ①已知A、B→ C （2001年高考第22题第二问）

∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)

又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)

∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期

②已知A、C→B

∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)

又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称

③已知C、B→A

∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)

又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)

∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数

看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢？经分析可得：

2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称，则f(x)是周期函数，4a是其一个周期。

证明：∵定义在R上的奇函数f(x) ∴f(-x)=-f(x)

又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)

∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a) （替换+代入）故f(x)是周期函数，4a是其一个周期。

奇函数本身是一个中心对称图形，关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称，再加对称性是否也可推出周期性吗？经分析可得：

3 .f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称（a≠b），则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。

若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢？

4.定义在R上的f(x)关于（a、0）和（b、0）都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a) 是一个周期。

证明：∵定义在R上的f(x)关于（a、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)

又∵定义在R上的f(x)关于（b、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)

∴f(x)是周期函数且2(b-a) 是其一个周期

将原条件换成关于x=a，x=b对也行，结论成立。

综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密，灵活运用可简化题目难度。

例1． f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ，x∈[0，3/2]时f(x)=x，则 f(2003) =？

解：方法一 ∵f(x)=- f(x+3) （替换、代入）∴f(x)= f(x+6)

∴6是f(x)的一个周期 f(x)

∴f(2003)= f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1

方法二∵f(x)=-f(x+3)，f(x)是奇函数

∴f(-x)=f(x+3) ∴f(x)关于x=3/2对称 又∵f(x)是奇函数

∴6是f(x)的一个周期，以下与方法一相同。

例2． f(x)是R上的偶函数，f(1-x )=f(x+1)，x∈[-1，0]时 f(x)=Log0.5（-x）则f(2003)=？

解：∵ f(x)是偶函数，f(1-x)=f(x+1)（即f(x)关于x=1对称）

∴根据结论1得2是f(x)的一个周期

∴ f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)= Log0.5（1）=0

例3． f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。

解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称

∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称

∴根据结论3得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)

又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)

又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6

怎么学抽象函数

函数性质你都是记的吧？每一个性质都去想想为什么，不要怕耗费时间，这些问题解决了，提到某条性质，你思考一下就可以自信的说对，那么这些函数都没什么可怕的了。在整个高中课程中，抽象函数的考察并不复杂，把基本的函数理解透彻，就可以不变应万变了。恭祝你的成绩有效提高！

抽象函数在高中数学学习中是否占很大比例？

函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。我相信这点你定是深有体会。剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住起性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。性质是函数最本质的东西，世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好到体现这点。另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前的东西，学不好还会扰乱人的思路，所以，我建议你去预习，因为预习绝对不会使你落后，我最核心的学习经验就是预习，这种方法使我的数学远远领先其它同学而立于不败之地。

综上，在学习函数的过程中，你要抓住其性质，而反馈到学习方法上你就应该预习（有能力的话最好能够自学）

。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想。

高一函数解题思路

1，首先把握定义和题目的叙述

2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟

3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况）

一般我们解题时 可以先考虑我们学习过与本题目相似的函数的函数,比如本题可以考虑对数函数,帮助我们解决问题,猜测出结论再做,总要方便一些的

不会占很大比例，这是大学学习的一部分，抽象涵数在高中出现，是为了检测对涵数的掌握情况，是给于高中生自己的一种挑战，作为高考，出现的比例也小，一般在选择和填空出现，难度也不会太大，对于抽象涵数不必负出大量时间在其上。