高中函数零点问题难题_高考函数零点问题

1.函数的零点个数怎么求

2.高中数学，函数零点问题

3.求函数零点个数的方法

答：1.零点的定义：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解；

2.f(a)·f(b)≤0是关键点，高考选择题，讲究快速计算，寻求各种技巧，考察学生对某些数学定义的掌握情况，不一定要解出函数的解，而是需要知道大致的范围；

3.7.8两题，只要分别将区间的上下限代入函数，将两个函数值相乘，看是否小于零就好，小于零就是正确答案；

4.有些答案可能有连个都能得到f(a)·f(b)≤0，娶区间最小那个；

函数的零点个数怎么求

函数在一个严格单调的区间上最多有一个零点，若函数f(x)在[a,b]上严格单调，且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点。对于一般的函数，求零点的方式是先求其导数，判断函数的单调区间分别是什么，然后再判断单调区间的两个端点的函数值，若两个端点的函数值异号，则有一个零点。

按照这个说法，要有三个零点，那么至少要有三个单调区间，且每个区间的两个端点的函数值均异号。比如f(x)=x^3-x

高中数学，函数零点问题

f(x)=0求零点个数

方法一

令y=f(x)，对其求导，得出函数在各区间的单调性。

通过观察定义域左右端的极限，非连续点的左右极限以及各驻点的函数值，配合单调性就能得出零点个数。

比如lnx–1/(x–1)=0零点个数

令f(x)=lnx–1/(x–1)

函数在x=1处不连续

f'(x)=1/x＋1/(x–1)?＞0

所以函数在(0，1)单调递增，(1，＋∞)单调递增

lim(x→0) f(x)=–∞

lim(x→1–) f(x)=＋∞

lim(x→1＋) f(x)=–∞

lim(x→＋∞) f(x)=＋∞

根据单调性，函数f(x)在(0，1)上必存在一个零点，(1，＋∞)上必存在一个零点

所以f(x)=0有两个零点

方法二

就是数形结合将零点问题转化为两个函数的交点问题，通过研究两个函数性质画出图像得出交点个数。

比如lnx–1/(x–1)=0

lnx=1/(x–1)

就可以转化为f(x)=lnx与g(x)=1/(x–1)的交点问题

画出图像可得出有两个交点，即原方程有两个零点。

求函数零点个数的方法

函数F（x）=f(x)-sinx在区间-π到π上的零点个数

即f(x)与sinx的图像的交点个数

而f(x)为定义域R上的奇函数,f(0)=0 且x>0时f(x)=(1/2)^x 有两个交点

则由奇函数的相关性质知x<0时f(x)=-2^x 有两个交点

所以共有5个交点

即函数F（x）=f(x)-sinx在区间-π到π上的零点个数为5

是函数 ? 时 ? 的取值.在函数图象上即是 ? 图象与 ? 交点横坐标.

所以我们求零点，可以从两方面入手：①求 ? 的解；②求 ? 图象横截距.

我们看一下有哪些具体方法：

①解方程：通过解方程 ? 得到零点；

②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；

③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；

④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.

而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.

我们来看一个具体的例子.

例1（2018全国2卷文数21-2）已知函数?，

证明： ? 只有一个零点.

分析 ? 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： ? 的解个数问题.进一步转化为函数?的零点个数问题.

解析因为 ? 恒成立.所以 ? 零点个数等价于函数函数?的零点个数问题.

先判断 ? 单调性，用导数法： ? ,

当且仅当 ? 时 ? ,

又因为 ? , ? ,

所以 ? 恰有一个零点.

小结分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择 ? 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.

本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.

例2（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数 ? ,求 ? 的零点个数.

分析求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.

解析 ? 定义域为 ? ，而 ? ,

由和差法： ? 和 ? 在?上都是单调递增了，

所以 ? 在?单调递增；

在 ? 上 ? 单调递增，当 ? 时， ? ，

当 ? 时， ? ，

由零点存在定理和单调性， ? 在 ? 有唯一零点，