高考题2015数学理科,2015高考数学数列

　导语：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。

高中数列基本公式：

　1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

　2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d?0时，an是关于n的一次式;当d=0时，an是一个常数。

　3、等差数列的前n项和公式：Sn=

　Sn=

　Sn=

　当d?0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1?0)，Sn=na1是关于n的正比例式。

　4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

　(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an?0)

　5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式);

　当q?1时，Sn=

　Sn=

　高中数学数列知识点总结二:高中数学中有关等差、等比数列的结论

　1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。

　2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

　3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

　4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。

　5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

　6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

　{an

　bn}、

　、

　仍为等比数列。

　7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

　8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

　9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

　10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;

　四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)

　11、{an}为等差数列，则

　(c>0)是等比数列。 12、{bn}(bn>0)是等比数列，则{logcbn} (c>0且c

　1) 是等差数列。 13. 在等差数列

　中： (1)若项数为

　，则

　(2)若数为

　则，

　，

　14. 在等比数列

　中： (1) 若项数为

　，则

　(2)若数为

　则，

高中数学数列求和的基本方法和技巧

　1.公式法数列求和：

　①等差数列求和公式;

　②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.;

　③常用公式：

　，

　，

　.如 (1)等比数列

　的前

　项和Sn=2n-1，则

　=_____ (答：

　); (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即?逢2进1?，如

　表示二进制数，将它转换成十进制形式是

　，那么将二进制

　转换成十进制数是_______ (答：

　) 2.分组数列求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将?和式?中?同类项?先合并在一起，再运用公式法求和. 如求：

　(答：

　) 3.倒序相加法求数列和：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前

　和公式的推导方法). 如 ①求证：

　; ②已知

　，则

　=______ (答：

　) 4.错位相减法求数列和：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前

　和公式的推导方法). 如(1)设

　为等比数列，

　，已知

　，

　，①求数列

　的首项和公比;②求数列

　的通项公式.(答：①

　，

　;②

　); (2)设函数

　，数列

　满足：

　，①求证：数列

　是等比数列;②令

　，求函数

　在点

　处的导数

　，并比较

　与

　的大小。(答：①略;②

　，当

　时，

　=

　;当

　时，

　<

　;当

　时，

　>

　)

　5.数列求和的裂项相消法：如果数列的通项可?分裂成两项差?的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

　①

　; ②

　; ③

　，

　; ④

　;⑤

　; ⑥

　. 如(1)求和：

　(答：

　); (2)在数列

　中，

　，且Sn=9，则n=_____

　(答：99);

　6.通项转换法求数列和：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如

　①求数列1?4，2?5，3?6，?，

　，?前

　项和

　= (答：

　); ②求和：

　(答：

　)

高中数学求数列通项公式常用以下几种方法：

　一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

　例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。

　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

　二、已知数列的前n项和，用公式

　S1 (n=1)

　Sn-Sn-1 (n2)

　例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，?5<2k-10<8 ?k=8 选 (B)

　此类题在解时要注意考虑n=1的'情况。

　三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

　例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。

　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，?{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，?-= -，Sn= -，

　再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，

　- (n=1)

　- (n2)

　四、用累加、累积的方法求通项公式

　对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

　例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

　又∵{an}是首项为1的正项数列，?an+1+an ?0，?-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，?，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：? -=-，

　又∵a1=1，?an=-(n2)，∵n=1也成立，?an=-(n?N*)

　五、用构造数列方法求通项公式

　题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

　例：已知数列{an}中，a1=2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,

　(1)求{an}通项公式 (2)略

　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--= (--1)(an--)

　?{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

　由a1=2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

　又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n?N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

　证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)

　由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

　所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

　若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

　又例：设数列{an}的首项a1?(0,1)，an=-，n=2，3，4(1)求{an}通项公式。(2)略

　解：由an=-，n=2,3,4,，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1?0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1

1、斐波那契数列

斐波那契数列，又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，提出时间为1202年。

2、递推数列

递推数列是可以递推找出规律的数列，找出这个规律的通项式就是解递推数列。求递推数列通项公式的常用方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法等共十种方法。

3、Look-and-say 数列

Look-and-say 数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音。

4、帕多瓦数列

帕多瓦数列是由帕多瓦总结而出的。它的特点为从第四项开始，每一项都是前面2项与前面3项的和。

5、卡特兰数

卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

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