高考3卷理数答案,高考3卷理数答案分析

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6.2021年高考理科数学试题全国乙卷（含完整答案分析）

（2011 福建文 10）若 a＞0，b＞0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最大值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 答案D （湖南文 8）已知函数 f ( x) = e ? 1, g ( x) = ? x + 4 x ? 3, 若有 f ( a ) = g (b), 则 b 的取值范

x 2

围为 A． [2 ? 2, 2 + 2] 答案B B． (2 ? 2, 2 + 2) C． [1,3] D． (1,3)

g ( x ) + x + 4, x < g ( x ) , ? f ( x) = ? 2 g ( x) = x ? 2 ( x ∈ R) ? g ( x ) ? x, x ≥ g ( x ) , 则 f ( x ) 的 ? （天津文 10） 设函数 ，

值域是（ ） ．

9 ? 4 , 0 ? U (1, +∞ ) ? Ａ． 9 ? 4 , +∞ ? Ｃ． ?

答案D

Ｂ．

[ 0, +∞ ) ，

9 ? 4 , 0 ? U ( 2, +∞ ) ? Ｄ． ?

以 若函数 f ( x ) = x + g ( x ) 在区间 [3, 4] 上海理 13. 设 g ( x ) 是定义在 R 上， 1 为周期的函数， 上的值域为 [ ?2, 5] ，则 f ( x ) 在区间 [ ?10,10] 上的值域为 . [ ?15,11]

上海文 上海文设 g ( x ) 是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f ( x ) = x + g ( x ) 在区间 [0,1] 上 的值域为 [ ?2, 5] ，则 f ( x ) 在区间 [0, 3] 上的值域为

[?2, 7]

2 （湖南理 8）设直线 x = t 与函数 f ( x ) = x , g ( x ) = ln x 的图像分别交于点 M , N ，则当

| MN | 达到最小时 t 的值为（

1 B． 2 5 C． 2

）

A．1 答案D

2 D． 2

（重庆理 10）设 m，k 为整数，方程 mx ? kx + 2 = 0 在区间（0,1）内有两个不同的根，则

2

m+k 的最小值为 （A）-8 答案D

（B）8

(C)12

(D) 13

（7）已知 a＞0，b＞0，a+b=2，则 y =

1 4 + 的最小值是 a b

（A）

7 2

（B）4

（C ）

（D ）5

2 的图象交于 P、 x

过坐标原点的一条直线与函数 f ( x ) = 江苏 8.在平面直角坐标系 xOy 中， Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是________. 答案：4.

江苏 12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是函数 f ( x) = e ( x > 0) 的图象上的动点，

x

该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点 的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_____________ 答案：

1 1 (e + ) 2 e

x x0

解析：设 P ( x0 , e 0 ), 则 l : y ? e

= e x0 ( x ? x0 ),∴ M (0, (1 ? x0 )e x0 ) ，过点 P 作 l 的垂线

y ? e x0 = ?e ? x0 ( x ? x0 ),∴ N (0, e x0 + x0 e? x0 ) ， 1 1 ∴ t = [(1 ? x0 )e x0 + e x0 + x0 e? x0 ] = e x0 + x0 (e ? x0 ? e x0 ) 2 2 1 x0 t ′ = (e + e? x0 )(1 ? x0 ) ， 所 以 ， t 在 (0,1) 上 单 调 增 ， 在 (1, +∞) 单 调 减 ， 2 1 1 ∴ x0 = 1, tmax = (e + ) . 2 e

（湖北理）已知函数 f ( x ) = ln x ? x + 1 ， x ∈ (0, +∞ ) ，求函数 f ( x ) 的最大值；

f ( x) 的定义域为 (0, +∞) ，令 f / ( x) =

1 ?1 = 0 ? x = 1 ， x

f ( x) 在 (0,1) 上递增，在 (1, +∞) 上递减，故函数 f ( x) 在 x = 1 处取得最大值 f (1) = 0

辽宁文已知函数 f ( x) = e x ? 2 x + a 有零点，则 a 的取值范围是_________． (?∞, 2 ln 2 ? 2] 辽宁文

安徽文数） （2010 安徽文数）(15)若 a > 0, b > 0, a + b = 2 ，则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成 立的是 ① ab ≤ 1 ； ④a +b ≥ 3；

3 3

(写出所有正确命题的编号)． ② a+ b≤ ⑤

2；

③ a +b ≥ 2；

2 2

1 1 + ≥2 a b

15.①，③，⑤ 浙江文数） （15） 若正实数 X， 满足 2X+Y+6=XY ， 则 XY 的最小值是 Y （2010 浙江文数）

答案： 答案：18 山东文数） （14）已知 x, y ∈ R + ，且满足 （2010 山东文数） 答案：3 山东理数） 2010 山东理数）

x y + = 1 ，则 xy 的最大值为 3 4

.

天津文数） （10）设函数 g ( x) = x 2 ? 2( x ∈ R ) ， （2010 天津文数）

x x g( f ( x) = {g (( x )) + x ,+x4, g<x ). x ), 则 g x ? ≥ (

f ( x) 的值域是

（A）

9 ? 9 9 ? , 0 ? ∪ (1, +∞) （B） [0, +∞) （C） [? , +∞) （D） , 0 ? ∪ (2, +∞) 4 ? 4 4 ?

答案D 解析 本题主要考查函数分类函数值域的基本求法， 属于难 题。 依 题 意 知

2 ? 2 ? x ? 2 + ( x + 4), x < x ? 2 f ( x) ? 2 2 ? x ? 2 ? x, x ≥ x ? 2 ?

2 ? x + 2, x < ?1或x > 2 f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? x , ?1 ≤ x ≤ 2 ?

文数） （2010 全国卷 1 文数）(7)已知函数 f ( x ) =| lg x | .若 a ≠ b 且， f (a ) = f (b) ，则 a + b 的取值范围是 C (A) (1, +∞) (B) [1, +∞ ) (C) (2, +∞ ) (D) [2, +∞)

福建理数） （ + 的函数 f(x) 满足：①对任意 x ∈ 0， ∞） （ + ，恒 （2010 福建理数）15．已知定义域为 0， ∞） 有 f(2x)=2f(x) 成立；当 x ∈ （1，2] 时， f(x)=2-x 。给出如下结论： ① 对 任 意 m ∈ Z ， 有 f(2 m )=0 ； ② 函 数 f(x) 的 值 域 为 [0， ∞） ③ 存 在 n ∈ Z ， 使 得 + ；

f(2n +1)=9 ；④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ∈ Z ，使得

(a, b) ? (2 k , 2 k +1 ) ” 。

其中所有正确结论的序号是 答案①②④ 。

江苏卷） （2010 江苏卷）14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中 一块是梯形，记 S =

2 (梯形的周长） ,则 S 的最小值是________。 梯形的面积

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 小正三角形的边长为 x ，则： S = 设剪成的小正 小正

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 = ? (0 < x < 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x + 1) (1 ? x) 2 2

（方法一）利用导数求函数最小值。 方法一）利用导数求函数最小值。

S ( x) =

4 (3 ? x) 2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) ? ， S ′( x) = ? 2 (1 ? x 2 ) 2 3 1? x 3

=

4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3 x ? 1)( x ? 3) ? = ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 2 3 3

1 S ′( x) = 0, 0 < x < 1, x = ， 3 1 1 当 x ∈ (0, ] 时， S ′( x ) < 0, 递减；当 x ∈ [ ,1) 时， S ′( x ) > 0, 递增； 3 3

故当 x =

1 32 3 时，S 的最小值是 。 3 3

（方法二）利用函数的方法求最小值。 方法二）利用函数的方法求最小值。

1 1 1 4 t2 4 1 ? 2 = ? 令 3 ? x = t , t ∈ (2,3), ∈ ( , ) ，则： S = t 3 2 3 ?t + 6t ? 8 3 ? 8 + 6 ?1 t2 t

故当 =

1 t

3 1 32 3 , x = 时，S 的最小值是 。 8 3 3

高考理数试题解疑

数学试题点评

天津高考数学试卷点评：难度区分合理

纵观天津高考数学试卷，笔者总体感觉在引入新鲜元素的同时也保留了天津本地稳定为主的特征，试题简洁明快，特色鲜明，平凡问题考验真功夫，在考查基础知识的同时注重对思想方法与能力的考查，试卷从试题的综合性、应用性和创新性的角度设计了由易到难的整体布局，试题的难易分布梯度较为平缓，试题情景设置合理，紧扣教材选题的同时也有着相当的创新要素，对于考生能力的要求进一步提高。与2013年相比，今年试卷总体难度稍有上升。

今年高考试卷结构上很好地秉承了天津高考以稳为主的命题思路，题型分布和考点设置上没有太大变化，严格依照《考试说明》中规定的考查内容，准确把握考查要求，对基础知识的考查既注重全面又突出重点。

试卷每种题型均设置了数量较多的基础题，许多试题都是考查单一的知识点或是在最基础的知识交汇点上设置，例如试卷中的选择题第1、2、3、4题，填空题第9、10、11、12题，这部分试题就是通常意义上的送分题，考查考生的基本功，需要牢牢把握。

试卷还注意确保支撑数学知识体系的主干内容(如三角函数与平面向量、概率统计、立体几何、解析几何、数列和函数与导数)占有较高的比例。

下表是近四年天津高考对各主干模块的考查分值统计：

通过上表可以看出，我们会发现三角函数等几大板块部分作为高中学习的绝对重点，几年来总体权重变化也不是特别明显。这也说明考生备考要依纲靠本，把精力更多地投放在考纲中的重点基础知识进行针对性复习。

今年高考试卷依然突出了考教一致这一原则。试卷中选题很多是源于教材，有些试题可看出与教材中的例题、练习和习题融合、改造的痕迹。这种做法有利于中学教学回归教材，

真正实现教什么考什么，同时也要求今后的同学在学习或是备考时注意到教材的重要作用，针对教材知识进行思考综合。

一、中等题目减少，强调通性通法

2014天津高考还有一个显著的特征是试卷中等题比重在下降，在保证良好区分度与选拔功能的前提下逐步回归基础。在试题命题上注重解题思路起点低，入口宽，更加强调“通性通法”在解题中的运用，要求运用基本概念分析问题，运用基本公式运算求解，利用基本定理推理论证，这些要求在各题中都有所体现，但各有不同侧重。同时，还要求考生利用基本数学思想方法寻找解题思路，如试卷第7题需就题目中的绝对值来进行分类讨论分析，而第14题则需用到转化化归思想将函数零点问题转化为函数图象交点问题来考虑。试卷强调通性通法，有利于引导中学数学教学回归基础。

二、注重能力立意，更加注重创新

天津数学试题体现了《考试说明》规定的各项能力要求，运算求解能力贯穿试卷始终，空间想象能力考查也达到一定深度，推理论证能力和抽象概括能力依然是考查的重点，在区分考生时起到重要作用。试卷中依然注重应用意识与创新意识的考查，如第16题，以实际问题为背景，考查概率知识在实际问题中的简单应用;第7、14、20题构思与设问较为新颖，考查了学生的创新意识。

除以上几点外，今年天津卷最大的亮点在于引入了创新题型。此类题型在北京等其他省市经过多年尝试与摸索已经初步成型，并已逐渐形成一种命题趋势。这类题型的特征在于题干比较抽象，需要考生具有较强的理解力，同时在准确理解题意的基础上综合使用相应的知识进行解题。如第19题，在数列问题中引入了集合环境，以全新的角度设置问题，重在考查考生对设问的理解。第1问枚举帮助考生理解题意，而第2问的新意在于要求考生构造二者差值，这是对其不等关系进行实质性分析的基础，而对于该差值的极端化处理则是放缩法证明不等式的基本技巧。此题要求考生具备较强的信息转译能力和严密论证能力，是很好的创新试题。在天津以往的高考中压轴题基本上还是以常规题型为主，很少涉及这类创新题。

由以上变化我们不难看出，今后的天津高考将会坚持并进一步提高对应用意识和创新意识的考查力度，这也要求本地考生在学习备考过程中要把眼界放开，在立足教材以及基础题型的同时要兼顾创新意识的培养。创新题型作为全国各地高考的一个趋势，今后也有望在天津高考中占据一席之地，也希望本地考生提前做好准备。

三、难度区分合理，有利于高考选拔

天津高考数学试题分布由易到难、循序渐进，选择填空题重点考查基础知识和基本运算，解答前四题重点考查综合运用基础知识及基本方法的能力，后两道重点考查学生的思维能力与探究能力。试卷整体难度分布比较平缓，计算量适中，各类试题也是由易到难，具有较好的梯度，从而实现高考择优录筛选考生的根本目的。

试卷中通过合理设置选择填空题的难度，达到了考查考生能力的目的;而通过解答题设问由浅入深的设置，也加强了对不同层次考生的区分功能，如第18、20题，都是上手相对容易，但深入又有一定难度。如第20题，题干简洁，设问大气，学生审题不会有什么困难，第1问要求考生清楚函数单调性与零点存在性之间的关系，并由此建立不等式确定参数取值范围;但后两问要探究两根之比与两根之和的变化规律，就需要考生考虑到由前问结论中参数的取值范围，将其与函数值域进行联系，从而根据零点处参数的等量关系进行函数构造。整体上第2问借助了第1问的结论，第3问又借助了第2问的结论，命题上环环相扣，逻辑清晰，要求考生具有较强的抽象概括、推理论证以及分析问题解决问题的能力，同时考查学生的直观意识，具有很好的区分度与选拔性。

以上是笔者对于今年高考数学试卷的一些分析，可以看出试卷本身十分成功，可见命题人出题时考虑问题之周全。对于考生来说，只要考前复习充分，考试心态平和，相信都能取得良好的结果。同时试卷中体现出的诸多特点与变化，也值得今后的考生多加注意和思考。

最后，笔者衷心祝愿广大学子能取得优异的成绩，考入理想的大学。同时希望决战2016高考的新高三同学能倍加努力，稳扎稳打，在高考中也取得优异的成绩

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a+b代表第一列数纵向相加，c+d代表第二列数纵向相加a+c代表第一行数横向相加，b+d代表第二行数横向相加a\b\c\d就是对应了已知四个数（这是新课标选修知识，到时候高二学了你知道了）立体几何题见图

2021年山西高考理科数学答案解析（含完整试题）（全国乙卷）

10年的

一、填空题1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},AB={3}，则实数a=______▲________

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________

3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),xR，是偶函数，则实数a=_______▲_________

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 开始 S1 n1 SS+2n S33 nn+1 否 输出S 结束 是

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是____▲____

12、设实数x,y满足38，49，则的最大值是_____▲____

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__▲

14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______

二、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t满足()=0，求t的值

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB‖DC，BCD=900(1)求证：PCBC(2)求点A到平面PBC的距离

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE=α，ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,①设动点P满足,求点P的轨迹②设，求点T的坐标③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）ABOF

19．（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.①求数列的通项公式（用表示）②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为

20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数①求证：函数具有性质②求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围

理科附加题21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）(1)几何证明选讲AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2)矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值(3)参数方程与极坐标在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值(4)不等式证明选讲已知实数a,b0，求证：22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数（1）求证cosA是有理数（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

求这道高考数学题的详解！！

2021年的高考即将开始，在高考所有科目中，数学是最让人紧张的一门。一旦考完数学便有很多同学想对答案，来预估自己能考多少分。本期我就为山西考生整理了2021年山西高考理科数学全国乙卷答案解析（含完整试题），供大家参考。

一、2021山西高考数学真题及答案解析

二、志愿填报参考文章

2021年顶尖211大学(非985)文科-几个顶尖211大学

2021年高考生有多少人?2021年高考落榜可以复读吗?

二本最低的师范大学理科公立2021年参考(含河南、湖南等省份)

解析几何之目~用点差法破解：2020年理数全国卷A题20

呵呵……

一、用排除法

任取三名总数是(十个里面取三个）10C3=120种

去掉丙入选的（丙确定，剩下九个里面取两个）120-9C2=84种

再去掉甲乙都没入选的（甲乙排除，剩下八个里面取三个）84-8C3=28种

由于丙入选且甲乙都没入选的情况多算了一次（甲乙排除，丙确定，剩下七个里面取两个），所以加上

28+7C2=49种

于是，答案是49种

二、用加法原理

丙没入选可以直接去掉，还剩9个人

即甲入选，乙没入选（乙排除，甲确定，剩下七个取两个）加上乙入选，甲没入选（甲排除，乙确定，剩下七个取两个）加上甲乙都入选（甲乙确定，剩下七个取一个）

7C2+7C2+7C1=49种

确定在组合中即为只有一种。

个人还是比较喜欢排除法。

2021年高考理科数学试题全国乙卷（含完整答案分析）

标签： 高中数学 高考真题 解析几何 数学思想与方法 点差法

已知 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点， . 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 .

(1) 求 的方程；

(2) 证明：直线 过定点。

解答第1问

先来解答基础性的第1问。

依题意可知： 三个点的坐标为： 代入题设条件可得：

的方程为：

第2问分析

解答高考数学题，有两条基本的路线（方向）：其一，是向某些基本的模型（题型）靠拢；其二，是从基本的思想和方法出发进行分析。

本题我们用路线二来解决，并用“自问自答”的方式来展示分析过程。

： 本题中有哪些对象？对象之间有何关联？

： 本题中，基本的对象有椭圆、直线、椭圆的弦。 是直线 上的动点；而 是椭圆上的定点。

： 如何证明一条直线过定点？

： 如果一个定点的坐标始终满足一个直线族（动直线的集合）的方程，则这个定点始终在这些变动的直线上；则直线过这个定点。

如果方程可以写成： ，则定点在 轴上，其坐标为 .

如果方程可以写成： ，则定点在 轴上，其坐标为 .

相对而言，多数人对第一种形式较为熟悉；而对第二种形式就生疏一些。命题人有时就在这点上作文章。

： 从几何角度分析，能够得出哪些结论？是否可以猜出定点的大致位置？

： 从对称性的角度考虑问题。 轴是椭圆 和直线 公共的对称轴。因此，对于直线 上的任一点 , 其关于 轴的对称点 也在这条直线上。

顺首这条思路往下走：如我们把 换成 ，那么，直线 也就换成了 . 注意 和 是关于 轴对称的两条直线，它们的公共点必定在 轴上。

因此，本题中的定点一定在 轴上。这是一个重要的阶段性结论。可以帮助我们简化后面的计算。

： 从代数的角度分析，可以得出哪些结论？哪些量是已知的？哪些量是未知？哪些量是变化的？变化的量之间存在什么关联？

： 本题中，椭圆的方程已知（第1问的结论）；点 是已知的定点； 是动点；

直线 是已知的定直线； 则是动直线。

注意： 这几个点都在椭圆上。所以，本题中可以找出多条椭圆的弦：

椭圆的弦是高中解析几何的重要研究对象。它具有以下性质：

： 椭圆的弦的性质：椭圆的弦的斜率与其中点的坐标存在一个简洁的联系。对于以原点为对称中心的椭圆，可以用公式表达如下： 或者：

上式中， 为弦 的中点； 代表原点。

这个性质，并不是定理，但是使用平方差法（又称点差法）可以迅速地推导得出，可以称为常用结论。在高考中，这个常用结论出现了多次。合理地猜想：这个性质对于解决眼前的问题也能发挥作用。

以上关系，对于本题中出现的众多的弦都是有效的。

由于 （也就是 ） 是椭圆的弦，根据弦的斜率就可以求出弦的中点。

同理，根据直线 的斜率，可以求出点 的坐标。

注意： 都是椭圆上的点，过这四点的弦有多条。这些弦的中点坐标存在联系。

是椭圆的长轴，其中点为原点 . 对于另外的几个中点可命名如下：记 中点为 , 记 中点为 , 记 中点为 ; 几个中点的坐标存在以下关系：

因此，如果有了 两点的坐标，就可以方便地求出点 的坐标。

如果算出点 的坐标，就可以求出直线 的斜率，并写出这条直线的点斜式方程。

如果求出直线 的方程，就可以算出所过定点的坐标，从而完成证明。

那么，直线 的斜率是多少呢？回答是：取决于动点 的坐标。这个坐标比较简单，只有一个变量，可以设为

借用函数及映射的符号，以上关系可以总结如下：

解题

理清以上关系之后，解答此题的路径（具体步骤）也就明确了：

1）引入参数 以表达动点 的坐标；

2）求直线 的斜率；

3）求中点 的坐标；

4）计算中点 的坐标；

5）计算直线 的斜率；

6）写出直线 的点斜式方程；

7）求出定点坐标；

解答第2问

因为椭圆 的方程为： ，若点 在该椭圆上，

则：

设点 坐标为： , 则直线 的斜率分别为：

1）当 ， 则点 分别与点 重合，直线 与 轴重合。

2）当 :

两直线的方程为：

记 中点为 , 记 中点为 , 记 中点为 ; 则有：

代入直线方程可求出两个中点的坐标：

由于 中点为原点，而 中点分别为： , 所以：

同理可得：

方程为：

方程可化为： ;

综上所述，对 , 直线 一定经过定点 . 证明完毕。

微操指南

作为高考压轴题，除了考查大的思路，命题人还会安排一些小的关卡和障碍，考验考生的综合实力。

本题的特点在于：点 的坐标较为复杂，会令一部分人望而生畏，就此止步。

对这个关卡，可以用以下思路破解。

点斜式方程的标准形式如下：

在前面的分析中，我们从对称性角度已经得出结论：定点在 轴上，其坐标形式为

所以，我们用点斜式方程的以下变形：

代入前面的计算结果可得：

以上推导过程有一定复杂度。顺利完成类似任务的关键在于：经过开头的分析，我们已经知道定点在 轴上，所以我们相信：看起来十分复杂的分母和复杂的分子一定可以约分，最后化简为一个简单的形式。

这种“方向感”需要在平时培养。如缺乏方向感，一味地强调熟练，是难以完成任务的。

提炼与提高

2017年理科数学全国卷一题20也是“定点问题”，但两题的解法是有区别的。请注意比较。

在还没有实行新高考政策的省份，数学被分为文科数学和理科数学，我就在本文为大家带来2021年全国高考数学试题理科全国乙卷，供2021年考生参考。

一、 2021年高考理科数学试题全国乙卷（含完整答案分析）

试题如下

参考答案

2021年高考即将开始，关于2021年高考全国乙卷数学理科试题及答案，高考100网将在试题及答案正式公布以后，第一时间进行更新，请大家持续关注高考100网。

二、志愿填报参考文章

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